S’il est bien un jeu où l’on sent le poids des générations de muslaris frappant leur carte sur la table en bois, la canne jamais très loin pour réagir à une fausse donne ou un hordago bluffé en fin de tournoi fatal à l’honneur de toute une maison (dont la blessure narcissique se perpétuera au moins sur deux générations pour justifier que depuis ce jour « on ne s’assoie pas à côté de cette famille à l’église ou aux repas de fête ») … s’il est bien un jeu où l’on sent qu’on s’appuie sur des principes fondateurs, sans savoir pourquoi on y croit, mais surtout sans jamais chercher à les questionner quand, finalement, 50% du temps on perd avec sa paire invincible de 7 en se disant qu’expie forcément quelque chose … s’il est bien un jeu où le « mystère » de l’aléatoire est bien épais car le talent dépasse la raison, comme un don inné de voir les cartes « se réchauffer », de sentir le jeu « tourner », ou pire, de « voir » les rois lors de la distribution des cartes … tout cela … et bien plus … c’est le mus !

Depuis 2019, la section mus de la MEE essaie de poser des nombres et des pourcentages sur ces situations où, une fois les 2 secondes de bluff permises, le joueur se retrouve à jauger, par expérience, calcul, feeling ou au pif, s’il y va ou pas. D’abord, pour avoir du répondant contre les redoutables muslaris de Montpellier … mais aussi, pour apporter une approche rationnelle.

Dans ce 1^er article, nous abordons la première question de base avant toute estimation de chances d’emporter un pari : le nombre de mains existantes – car une probabilité est avant toute chose un rapport entre le nombre de mains considérées et l’ensemble des mains possibles. Selon la question qu’on se posera, il y a plusieurs réponses possibles :

• « J’ai 12-10-5-3 » -> la main est totalement définie
• « J’ai une paire de rois, au grand » -> on complètera les mains comportant 2 rois
• « J’ai 2 rois et mon partenaire 2 11, au grand » -> on regardera les mains qui battent simultanément toutes les mains comportant 2 rois ET toutes les mains comportant 2 11 (et 0 roi, évidemment) possibles avec les cartes restantes
• « J’ai 2 rois et mon partenaire 2 as, au grand et au petit » -> on regardera les paires de mains adverses qui battent simultanément deux mains partiellement définies

Ceci s’écrit alors, pour K joueurs, \( \prod_{i=0}^{K-1}\binom{40-4i}{4} \) si on suit la 1^ère méthode, ou \( \binom{40}{4K}\prod_{i=0}^{K-1}\binom{4(i+1)}{4i} \) si on suit la 2^ème méthode, les deux étant, fort heureusement, identiques. On obtient alors des résultats élémentaires :

• 91 390 mains pour 1 joueur
• 5 383 327 950 paires de mains pour 2 joueurs
• 193 584 473 082 000 triplets de mains pour 3 joueurs
• 3 963 642 086 353 950 000 quadruplets de mains pour 4 joueurs

Bon … cela décourage à vouloir aller plus loin ! Un joueur qui a joué une petite centaine de parties en 2 manches gagnantes pour lesquelles il y a en moyenne 16 tours (donc il a « vu » entre 3000 et 10000 mains avant d’aller mus) … a quand même l’impression d’avoir déjà vu plusieurs fois certaines mains (du genre 3 rois et 1 as, le fameux 2-3-4-5, ou autre combinaison fétiche). Pourtant, sur presque cent mille mains possibles, il faudrait jouer plus de mille parties pour enfin voir revenir une main « connue » ! Vous l’avez compris, pour un joueur réel, la « couleur » de ses cartes ne compte pas … ainsi, les 91 390 mains comportent des redites, juste par la combinatoire des couleurs (bâtons, écus, coupes, épées). Le calcul se corse alors immédiatement !

Il y a des mains faciles : 4 as, par exemple, on ne peut la faire que d’une manière possible. Mais pour la main (as, as, as, roi), ça se complique : on doit choisir 3 as parmi 4 disponibles PUIS choisir un roi parmi 4 disponibles. Ce qui donne \( \binom{4}{3}\binom{4}{1} \), c’est-à-dire 16, comme illustré dans l’image. Le calcul pour un joueur est alors assez facile par disjonction de cas sur les 10 familles de cartes disponibles {1,2,3,4,5,6,7,10,11,12} :

• soit 4 fois la même carte : \( \binom{10}{1} \)
• soit 3 fois la même carte + 1 carte différente : \( \binom{10}{2}\binom{2}{1} \)
• soit 2 fois la même carte + 2 fois une autre carte : \( \binom{10}{2} \)
• soit 2 fois la même carte + 1 fois une autre carte + 1 fois une autre carte : \( \binom{10}{3}\binom{3}{1} \)
• soit 4 cartes différentes : \( \binom{10}{4} \)

Ce petit exercice donne seulement 715 configurations de mains différentes, lorsqu’on est indifférent à la couleur des cartes. Le calcul pour plus qu’un joueur devient intraitable du fait que la disjonction des cas doit alors considérer les cas où les 4 cartes disponibles dans un famille (par ex les 4 rois) ont déjà été distribuées, et donc le joueur suivant n’a plus 10 familles disponibles mais 9.

Une solution brutale revient à faire une boucle sur toutes les mains et compter les configurations différentes : sur un PC normal, quelques secondes pour 1 joueur, 2-3 minutes pour 2 joueurs, probablement plus d’une journée pour 3 joueurs mais un débordement de RAM en prévision. Une solution semi-analytique est néanmoins possible en modélisant notre calcul avec des polynômes à plusieurs variables. On va associer à la famille i la variable X_i, ca veut dire que les rois sont associés à X₁₀ par exemple. On va aussi interpréter un monôme X_iⁿ comme voulant dire « j’ai n fois la carte i ». Ainsi, le terme X₁₀⁴ correspond à la main à 4 rois.

On voit immédiatement que pour le jeu de mus, on ne peut pas avoir de terme X_iⁿ avec n>4, car on n’a pas plus de 4 fois chaque carte. Maintenant, on va utiliser deux outils :
Les sommes de Newton, définies comme \( p_n = \sum_{i=1}^{10}X_i^n \)
et les polynômes symétriques élémentaires \( h_k = \sum_{1\le i_1\lt i_2…\lt i_k \le 10} X_{i_1}…X_{i_k} \).

On sent bien que les deux sont associés puisque h₁ = p₁ et par récurrence on peut exprimer n’importe quel h_i en fonction des p_k et vice-versa. Il faut voir que h₄ est constitué de tous les produits X_iX_jX_kX_l. Avec un bon logiciel de calcul formel, on peut alors éliminer tous les termes ayant un X_iⁿ avec n>4. Le nombre total de termes que le polynôme multivarié restant comporte est exactement le nombre de configurations de mains différentes pour 1 joueur – et d’ailleurs, on peut trouver une astuce pour que le coefficient devant chaque terme soit sa multiplicité (comme 16 dans le cas de la main (as, as, as, roi) qui est le terme X₁³X₁₀¹) – à suivre au prochain épisode.

Pour conclure, pour K joueurs, il suffit alors de reproduire cette méthode pour h₄^K et obtenir un résultat qui n’était pas si trivial – et probablement nouveau dans la communauté musistique. Nb : ici les joueurs sont « numérotés », donc si Paul joue avec Fernando, que Paul a 4 as et Fernando 4 rois, la situation inverse (Paul=4 rois et Fernando=4 as) est bien une configuration différente dans ce dénombrement.

• 715 mains différentes pour 1 joueur
• 497 925 doublets de mains différentes pour 2 joueurs
• 321 191 550 triplets de mains différentes pour 3 joueurs
• 180 168 258 060 quadruplets de mains différentes pour 4 joueurs

Ce qui, loin de tuer la complexité du mus, nous fait passer d’une situation intraitable avec 4 trillons de configurations à (seulement) 180 milliards de possibilités.

Merci à Bruno qui s’est, lui aussi, cassé la tête sur cette question finalement devient facile quand on a trouvé la solution !